La geometria solida nel test d’ingresso ad ingegneria

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Tra i quesiti più frequenti (e spesso più ingannevoli) del test d’ingresso del Politecnico di Milano (TOL) e Politecnico di Torino (TIL) ci sono sicuramente i quesiti di geometria solida.

Perché sono ingannevoli questi quesiti? Per due motivazioni molto semplici:

Perché non sempre si sanno a memoria le formule di geometria solida
Perché spesso non ci sono dati “numerici” come siamo abituati, ma lettere (es., un certo raggio R) o dati relativi (es., un cono ha l’altezza o il raggio del cerchio di base doppio rispetto a un altro cono)

Se ti ritrovi in uno di questi due problemi, allora questo articolo fa per te.

Quali formule ricordare?

Le formule da ricordare sono tante, ma non così difficili. Di seguito vi riportiamo un formulario dei solidi notevoli e delle formule che è opportuno ricordare per affrontare con più tranquillità il test.

Certamente, ricordare le formule non è né necessario né sufficiente per passare il test, perché bisogna anche saperle usare quando sono richieste!

Come risolvere un quesito senza dati “numerici”?

Benché a prima vista questi quesiti sembrino più difficili, in realtà semplificano molto i calcoli anche se richiedono un po’ di ragionamento logico. Vediamo un esempio.

Esempio 1

Dati un cilindro ed un cono di ugual base, quanto deve essere l’altezza del cono, rispetto a quella del cilindro, affinché abbiano lo stesso volume?

(A) Un terzo di quella del cilindro

(B) Il triplo di quella del cilindro

(D) Il doppio di quella del cilindro

(E) Nessuna delle precedenti

Soluzione

B. Un modo pratico per risolvere questi quesiti di geometria, è supporre dei valori per certe grandezze. In particolare, supponendo che l’area di base del cono e del cilindro misuri 1 e che l’altezza del cilindro misuri anch’essa 1, possiamo determinare di quanto deve essere più alto il cono affinché abbia lo stesso volume del cilindro. Si ricorda che il volume del cilindro si calcola come V= base×altezza quindi V= 1 × 1 = 1. Il volume del cono, chiamando h la sua altezza misura V= 1⁄3 ×base altezza = 1⁄3 × 1 ×h. Dovendo essere uguali, anche il volume del cono dovrà essere uguale a 1, quindi 1⁄3h = 1, quindi h = 3. L’altezza del cono deve essere il triplo di quella del cilindro.

Esempio 2 – Prova te!

Qual è il rapporto tra la superficie di un sfera e la superficie laterale del cilindro equilatero ad essa inscritto?

(A) 2

(B) 3⁄2

(D) 8⁄7