I quesiti di probabilità: capire e usare le combinazioni e le disposizioni

Nei test di matematica e logica spesso ci si imbatte in quesiti quali:

“Ho un’associazione con 50 soci. Devo scegliere 5 membri che compongano il comitato direttivo. Quante sono le possibili scelte?”

oppure

“Utilizzando le cifre 1, 2, 3 quanti numeri di quattro cifre posso formare?”

Questi quesiti lasciano spesso confusi in quanto non si hanno gli strumenti per affrontarli adeguatamente. Questo perché spesso alle superiori non si tratta a sufficienza di probabilità e di calcolo combinatorio, e quindi non si ha dimestichezza con i concetti di combinazione e disposizione.

Cosa sono le combinazioni e le disposizioni?

Iniziamo dalle disposizioni. Le disposizioni sono raggruppamenti realizzati quando il numero di oggetti è uguale o diverso dal numero di posti disponibili e conta l’ordine con cui si dispongono gli oggetti nei posti.

Le combinazioni invece sono raggruppamenti realizzati quando il numero di oggetti è uguale o diverso dal numero di posti disponibili e NON conta l’ordine con cui si dispongono gli oggetti nei posti.

Sia combinazioni sia disposizioni vengono detti con ripetizione se ciascun oggetto può essere ripetuto all’interno dei posti.

Introduzione a combinazioni e disposizioni

Nei seguenti paragrafi utilizzeremo due notazioni: il fattoriale e la combinazione.

Il fattoriale di un numero naturale è il prodotto di tutti i numeri naturali che lo precedono e si indica come n!. Per esempio 4!=4 x 3 x 2 x 1 = 24. Per convenzione 0!=1.

Le combinazioni di k elementi tra n si indica come con k<n ed entrambi numeri naturali ed equivale a:

Per esempio le combinazioni di 3 elementi tra 5 è pari a:

Formulario su disposizioni e combinazioni

Di seguito riportiamo un formulario veloce su disposizioni e combinazioni.

  • Disposizioni senza ripetizione di n elementi in k posti:
  • Disposizioni con ripetizione di n elementi in k posti:
  • Combinazioni senza ripetizione di n elementi in k posti:
  • Combinazioni con ripetizione di n elementi in k posti:

Come capisco se applicare disposizioni o combinazioni e se con o senza ripetizione?

Ma aldilà delle formule, è necessario sapere quale applicare e quindi capire in quale caso siamo.

Quando leggiamo un quesito, come quelli riportati all’inizio dell’articolo, e riconosciamo la necessità di utilizzare le disposizioni o le combinazioni ci dobbiamo porre due domande:

  1. E’ importante l’ordine di “estrazione/scelta” di ogni elemento? Per esempio, se estraggo ABC o CAB, devo contare solo un raggruppamento o due? Se l’ordine conta allora si tratta di una disposizione, se non importa allora è una combinazione.
  2. Posso ripetere più volte un singolo elemento? Dopo che ho estratto un elemento potrò ri-estrarlo? Se sì, allora è una combinazione/disposizione con ripetizione, se no non lo è.

Risolviamo i quesiti

“Ho un’associazione con 50 soci. Devo scegliere 5 membri che compongano il comitato direttivo. Quante possibili scelte?”

In questo caso non mi importa se un membro viene estratto per primo o per quinto, in quanto potrei estrarli tutti contemporaneamente. Di conseguenza si tratta di una combinazione.

Trattandosi di persone, una persona potrà essere estratta una e una sola volta.

Quindi in questo caso è una combinazione senza ripetizione. Applicando la formula:

“Utilizzando le cifre 1, 2, 3 quanti numeri di quattro cifre posso formare?”

In questo caso, trattandosi di numeri, la posizione (ordine di estrazione) di ciascuna cifra conta per determinare la cifra finale. Quindi si tratta di una disposizione. Poi, ciascuna cifra potrà essere ripetuta in quanto devo formare numeri di 4 cifre utilizzando tre cifre diverse (1, 2, 3).

Si tratta quindi di una disposizione con ripetizione. Applicando la formula, trovo che le disposizioni sono in totale 34 = 81.


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