Demo TOLC-E

Soluzione: C. Dal Teorema fondamentale dellla goniometria abbiamo che cos²(x) + sin²(x) = 1 quindi sin²(x) = 1 – cos²(x). Sostituendo nell’equazione si ha 2cos²(2x) – 1 = ¹⁄₂. Se ne deriva cos²(2x) = ³⁄₄, ovvero cos(2x) = ±. Si ha che 2x = ^π ⁄₆ + kπ e 2x = ⁵⁄₆π + kπ, da cui x = ^π ⁄₁₂ + k^π ⁄₂ e x = ⁵ ⁄₁₂π + k^π ⁄₂. Restringendo il campo delle soluzioni su [π∕2;π] allora si trovano x = ⁷⁄₁₂π ed x = ¹¹⁄₁₂π. La risposta C è quella corretta.

Soluzione: B. Un polinomio A(x) è divisibile per un polinomio B(x) se la divisione del primo per il secondo non dà resto, ovvero se esiste un altro polinomio C(x) tale per cui A(x) = B(x) × C(x). Un modo alternativo è porre i divisori proposti uguali a 0. Risolvendo l’equazione associata troviamo quindi dei valori per x. Sostituendo tali valori all’interno del polinomio di partenza, se il risultato dà 0 allora la soluzione è effettivamente un divisore. Nel caso di x + 1, scriviamo x + 1 = 0 ovvero x = -1. Sostituiamo x = -1 nel polinomio 3x³ + 2x² – 6x + 1 e troviamo +6≠0 da cui x + 1 non è divisore. Passando al secondo troviamo x = 1, per sostituzione nel polinomio troviamo 0, per cui x – 1 è un divisore di 3x³ + 2x² – 6x + 1.

Soluzione: B. Sviluppando i quadrati di binomio si arriva alla seguente espressione xy= 9. Dovendo essere entrambi i numeri negativi ed interi, le coppie possibili sono determinate dai fattori (negativi) di nove. Così si ottengono (-1;-9), (-9;-1) e (-3;-3).

Soluzione: E. Considerando il vincolo su a e b, al fine di confutare le proposizioni è necessario trovare dei valori ammissibili di a e b che non le verificano. Possiamo notare che se a = –¹⁄₂ e b = 0, la prima proposizione è falsa. Se a = ¹⁄₄ e b = ¹⁄₂, la seconda e la quarta proposizione non sono verificate. Infine, se a < 0 e b > 0, la terza non è verificata. Possiamo notare che l’unica rimasta è l’ultima. Si può infatti dimostrare che, essendo entrambi i numeri compresi tra 0 e 1 in valore assoluto, il loro prodotto non potrà mai essere superiore o uguale a 1.

Soluzione: B. Chiamando r il raggio della sfera, la sua superficie è 4πr², da cui la base del cono è πr²∕2. Dalla base del cono si deduce che il suo raggio di base è r/2. Al fine di calcolare il volume del cono è necessario saperne l’altezza. Sezionando la sfera con un piano passante per il centro e perpendicolare alla base del cono, si nota che l’altezza può essere calcolata come il raggio della sfera più una parte sottostante OH, chiamato O il centro della sfera e H il punto di incontro dell’altezza con la base. Il segmento OH può essere calcolato tramite il teorema di Pitagora come = r/2. L’altezza risulta essere quindi uguale a r + r/2. Per la formula del volume del cono (r² h ^π∕₃), il volume vale .

Soluzione: B. Facendo ruotare un triangolo rettangolo intorno a uno dei suoi cateti si ottiene un cono retto. In tal caso, il cateto che funge da asse di rotazione ne è l’altezza, mentre l’altro cateto ne è il raggio. Nel caso di V ₁, l’altezza è a ed il raggio b, da cui per la formula del volume del cono ¹⁄₃πr²h = ¹⁄₃π3²4. Per il secondo cono il raggio e l’altezza sono invertite, per cui il volume è ¹⁄₃π4²3. Il rapporto tra i due volumi è quindi ³⁄₄.

Soluzione: C. Per affrontare questi esercizi è necessario ricordare che 1024 = 2¹⁰ ≃ 10³ = 1000. In tal caso riscriviamo b come (4 × 100)⁵ = (2² × 10²)⁵ = 2¹⁰ × 10¹⁰. Essendo le soluzioni proposte espresse in base 10 ricordiamo che 2¹⁰ ≃ 10³, per cui 2¹⁰ × 10¹⁰ ≃ 10³ × 10¹⁰ = 10¹³. Vediamo che 10¹³ è tra la soluzione B e la C. Ciononostante, analizzando l’approssimazione fatta, notiamo che 2¹⁰ > 10³ per cui b > 10¹³ ma non molto più grande, da cui si conclude la C.

Soluzione : C. Le combinazioni totali di vittorie (V) e sconfitte (S) per Carlo sono pari a 2⁵ = 32, in quanto per ciascuna delle cinque partite ho due possibilità (2x2x2x2x2). Le combinazioni in cui Carlo vince una sola partita sono 5 (VSSSS, SVSSS, SSVSS, SSSVS e SSSSV). La probabilità è quindi di 5 su 32 (risposta C).

Soluzione : B. Nel passare da ”Gregge” a ”Pecora”, si passa dall’insieme all’elemento che lo compone. Essendo il bosco un insieme di alberi, la risposta corretta è la B.

Soluzione : E. Ragioniamo sulle monete diverse da 0. Se ci sono due monete diverse da 0, allora nessuna delle due monete potrà essere uguale alla somma delle due monete. Allora capiamo che il massimo di monete diverse da zero che potremo avere sarà una, in quanto la somma delle monete sarà uguale a sé stessa. Di conseguenza, le monete pari a 0 dovranno essere almeno 19 (risposta E).

Soluzione : E. Ragioniamo prima di tutto su che insiemi potrà comporre: Adele potrà scegliere o una camicia e un maglione, o una camicia e un pantalone, o un pantalone e un maglione. Nel primo caso ha 8×5 = 40 combinazioni, nel secondo caso ha 8×6 = 48 combinazioni e nel terzo caso 5×6 = 30 possibilità. In totale Adele ha 40+48+30 = 118 possibilità (risposta E).

Soluzione : B. Studiare è sufficiente, ma non necessario per essere promosso. Dunque, se uno studente viene promosso potrebbe aver studiato, ma non è necessario. Per cui la risposta corretta è la B.

Soluzione : C. Per risolvere il problema basta impostare la seguente equazione: 0,90 x 333 + 1,50 x S = 539,70. Approssimando, 1,50 x S = 239,7, da cui S = 239,7/1,5 = 239,7*2/3 che è uguale circa a 240*2/3 = 160, da cui la risposta C è quella corretta

Soluzione : E. Le tre persone che sanno sciare potrebbero essere tutte francesi o tutte tedesche. Valutando le possibili combinazioni, possiamo sempre trovarne alcune che rendono false le risposte A, B, C e D. Per cui la risposta corretta è la E.

Soluzione: E. Con le frasi “come se, per esemplo, due palle, una di cera e l’altra d’alcun legno, eguali di mole, fussero ancora eguali in peso, diremmo quel tal legno e la cera essere in ispecie egualmente gravi” e “Più grave in specie chiamerò una materia che un’altra, della quale una mole eguale a una mole dell’altra peserà più” si capisce che Galileo utilizza il termine gravita per definire la densità e mole per definire il volume.

Soluzione: C. Nel primo paragrafo Galileo si concentra principalmente sulla definizione delle grandezze poi citate nei paragrafi seguenti, ossia mole, peso e gravità. Benché il paragrafo inizi con la definizione della sua teoria, egli non spiega come dimostrerà la tesi (ovvero l’esperimento in sé) né come sperimenterà la sua tesi.

Soluzione: B. Nella conclusione del terzo paragrafo possiamo leggere: “e fu considerato da Aristotile come principio nelle sue Questioni meccaniche: onde noi ancora possiamo prender per verissimo assunto che pesi assolutamente diseguali, alternatamente si contrappesano e si rendono di momenti eguali […]” da cui si deduce che sono i momenti a essere eguali affinché siano in equilibrio. Si faccia attenzione che la domanda non presuppone che né i pesi né i bracci della bilancia siano uguali.

Soluzione: D. Affinché il corpo galleggi, deve presentare caratteristiche contrarie rispetto a un corpo che affonda. Nella prima frase leggiamo che “alcuni corpi solidi discendono al fondo nell’acqua, esser l’eccesso della gravità loro sopra la gravità dell’acqua”, ossia che i corpi che affondano hanno gravità superiore a quella dell’acqua. Il contrario dev’essere vero in un corpo che galleggia.

Soluzione: A. Come cita Galileo “pesi assolutamente diseguali, alternatamente si contrappesano e si rendono di momenti eguali, ogni volta che le loro gravità con proporzione contraria rispondono alle velocità de’ lor moti, cioè che quanto l’uno è men grave dell’altro, tanto sia in constituzione di muoversi più velocemente di quello”, da cui si deduce che un corpo più leggero può compensare uno più pesante purché si muova “ più velocemente”.

Traduzione: Nel soggiorno troverai alcune sedie nere

Gli aggettivi, quindi ciò che qualifica un nome – come per esempio “red house” (casa rossa) oppure “tall boys” (ragazzi alti) – non variano mai, non si trasformano quindi al plurale come invece avviene con i nomi.

Dunque se vogliamo dire:

“La mia macchina nuova” diremo: “My new car”

E se volessimo invece dire “Le mie macchine nuove” sarebbe: “My new cars”

Come si vede l’aggettivo “new” rimane invariato, il nome “car” invece diventa “cars”. Nella domanda la risposta esatta è quindi black.

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Traduzione: Se non risponde al telefono, prova a chiamarla di nuovo dopo.

Esiste una differenza da tenere presente tra i due avverbi still (ancora) ed again (ancora, nuovamente). In italiano infatti ancora indica entrambi i concetti, in inglese invece non è possibile utilizzare indistintamente la stessa parola.

Il primo – still – significa ancora nel senso di un’azione che sta continuando, come per esempio nella frase: “Non ho ancora finito di mangiare.”

Il secondo – again – invece rappresenta ancora nel senso di “un’altra volta” o “di nuovo”, come nella frase: “Il professore mi ha bocciato e dovrò fare l’esame un’altra volta“. È questo il caso della frase in oggetto.

Avendo ben chiara questa differenza, sarà facile durante l’esame andare ad individuare rapidamente l’alternativa corretta nelle domande che trattano argomenti simili.

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Traduzione: Sulla scrivania dell’ufficio ci sono delle scatole.

Per fare il plurale di parole terminanti in “-ch, -s, -h, -x, -o, -ss” bisogna aggiungere il suffisso “-es” al termine della parola.

Per esempio, il plurale della parola – sandwich – è – sandwiches – o il plurale di – boss – è – bosses –

Questo accorgimento è necessario in quanto altrimenti il plurale di tali parole sarebbe difficoltoso da pronunciare.

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Traduzione: C’è una penna in più che puoi usare dietro quella borsa.

Per quanto riguarda le preposizioni di spazio riportate bisogna notare che:

• opposite richiede di essere seguito dalla preposizione to – (opposto a);
• in front richiede di essere seguito dalla preposizione of – (di fronte a);
• over ha il significato di “sospeso sopra”;
• next richiede di essere seguito dalla preposizione to – (di fianco a), oppure significa “prossimo” (per esempio: la prossima settimana → next week);
• behind non richiede di essere seguito da alcuna preposizione e significa “dietro”.

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Traduzione: “Andremo in Asia la prossima settimana” – “Fantastico! Fate buon viaggio!”

To travel esprime il verbo viaggiare, per indicare il viaggio come sostantivo invece si utilizza la parola trip.

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Traduzione: “Hai mai mangiato carne di elefante?”

Nonostante la domanda letteralmente significhi “hai mai mangiato” non si mette mai “never” (sebbene letteralmente voglia dire “mai”) ma “ever” in quanto si tratta di una forma interrogativa. Per esempio la domanda: “Sei mai stato in Francia?” sarà: “Have you ever been to France?”. Questa costruzione si applica sempre a tutte le domande di questo tipo.

“Mai” viene tradotto con “never” nelle frasi non interrogative, quindi affermative e negative. Per esempio: “I never go to the cinema” (“Non vado mai al cinema”).

Traduzione: “John: è molto tardi e non ho ancora scritto questa lettera. – Paul: Non preoccuparti, la scriverò io per te.”

La forma futura da utilizzare nel caso di decisioni prese nel momento in cui si parla è quella data da: will + forma base del verbo (senza to)

Esempio: “It’s very hot, I will open the door” – (Fa molto caldo, aprirò la porta)

 La decisione di aprire la porta è presa nel momento in cui si parla e riguarda un momento futuro. Il futuro infatti può riguardare anche un momento immediatamente successivo, è un’azione futura anche quella che avverrà tra un secondo.

Non bisogna quindi fraintendere l’uso della forma futura che non deve necessariamente essere riferita ad un momento lontano nel futuro come “domani”, “tra una settimana”, “tra un anno”, etc.

La forma “Will” inoltre viene utilizzata quando non si vuole dare nessuna accezione particolare, ma semplicemente indicare un futuro generico e non programmato o intenzionale.

Traduzione: “Ho un sacco di dipinti famosi a casa mia.”

Essendo “paintings” un nome numerabile (ovvero, un nome di cui si può fare il plurale) non è possibile usare “much” (che si usa solo per i nomi non numerabili).

Va inserita dunque la forma alternativa per dire “molti, un sacco” che è “lots of” (o alternativamente: “a lot of”). Se fosse stato presente tra le alternative, anche “many” sarebbe stato corretto.

Bisogna inoltre ricordare che non è possibile utilizzare “much” nelle frasi affermative, ma solo in quelle negative ed interrogative.

Traduzione: “Da dove vieni?”

Oltre alla domanda tipica “Where are you from?” un altro modo per chiedere la provenienza è “Where do you come from?”.

Tra le alternative inoltre l’unica ad essere grammaticalmente corretta è la (4).

Traduzione: “Il formaggio è fatto dal latte.”

Si tratta di una frase passiva, la costruzione è pertanto (come in italiano):

verbo essere + participio passato.

Traduzione: “C’era un compleanno ieri sera.”

Da ricordare:

Per il tempo presente:

There is                  C’è
There are               Ci sono

Per il tempo passato:

There was              C’era
There were            C’erano

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