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Soluzione : C. Essendo la cotangente il rapporto fra coseno e seno, si può notare che per sin(x)≠0, il denominatore è semplificabile. L’equazione goniometrica rimanente è cos²(x) = 2. Essendo il coseno sempre compreso tra -1 e 1, il suo quadrato sarà compreso tra 0 e 1 (in quanto i suoi valori negativi, al quadrato, diventano positivi) e quindi mai uguale 2.

Soluzione: D. Notando che il coseno assume il valore per angoli uguali a ^π⁄₄ + 2kπ ed a ⁷⁄₄π + 2kπ, si deve avere che 2x –^π⁄₆ = ^π⁄₄ + 2kπ e che 2x –^π⁄₆ = ⁷⁄₄π + 2kπ, da cui si ottiene
x = ⁵⁄₂₄π + kπ e x = ²³⁄₂₄π + kπ

Soluzione: C. Per risolvere tale quesito è necessario ricordare che sin(π – α) = sin(α) ed il teorema dei seni, secondo cui in ogni triangolo ogni lato è proporzionale al seno dell’angolo opposto. Nel triangolo considerato è necessario tracciare la bisettrice a Ĉ che incontra il lato AB in L, formando il segmento CL = l. Il triangolo LBC ha angolo = γ, l’angolo = β da cui l’angolo = π – β – γ. Per il teorema dei seni = , da cui (ricordando che sin(π – β – γ) = sin(β + γ)) si ottiene BC = l.

Soluzione: A. Per la proprietà del cambio di base del logaritmo si ha log _a(b) = , da cui l’equazione può essere riscritta come + log ₄(x) = -2. Sostituiamo per chiarezza log ₄(x) = t, in tal modo otteniamo ¹⁄_t + t = -2, ovvero = 0. Prima di tutto imponiamo il denominatore diverso da 0, ovvero t≠0, da cui log ₄(x)≠0, quindi x≠1.
A questo punto studiamo t² + 2t + 1 = 0; si noti che essa può essere riscritta come (t + 1)² = 0, da cui t = -1. Risostituendo con il logaritmo si ha log ₄(x) = -1. Ricordando che a^{log _a(b)} = b, allora 4^{log ₄(x)} = 4^–1, da cui x = 4^–1 = ¹⁄₄. Tale risultato può essere ottenuto anche sostituendo le soluzioni proposte dal quesito all’interno dell’equazione di partenza.

Soluzione: D. Prima di iniziare bisogna ricordare che il valore assoluto di un polinomio è sempre maggiore o uguale a 0 (uguale a zero quando il suo argomento è nullo). Analizziamo ciascuna delle disequazioni proposte:

• Essendo in valore assoluto, la disequazione proposta è sempre avverata tranne quando si annulla, ossia x≠ – 3;
• Notiamo che un valore non può mai essere negativo ma, al più, nullo. Imponendo quindi l’uguaglianza si trovano due soluzioni: x = ±;
• In questo caso bisogna analizzare i casi in cui x ≥ 1 e x < 1. Nel primo caso, l’equazione associata è x – 1 + 1 – x > 0, quindi mai verificata. Nel secondo caso, l’equazione associata è -x+1-1+x > 0, ed ancora mai verificata. Per cui l’equazione non ammette soluzioni;
• La quarta disequazione può essere riscritta come 3|x + 1| ≤ 0. Come nel secondo caso, il valore assoluto può essere al più uguale a 0, quando il suo argomento lo è. In tal caso si trova come soluzione x = -1, ossia un unico numero reale;
• Non essendo mai negativo, l’ultima disequazione non è mai verificata.

Soluzione: D. Ricordiamo che una circonferenza con centro nell’origine ha forma x² + y² = r², dove r è il raggio. La circonferenza riportata non è espressa in forma canonica. Per riportarla nella forma considerata, eleviamo entrambi i membri al quadrato, trovando y² = 9 – x², ossia x² + y² = 9. Se ne deduce che r² = 9, ovvero r = 3.

Soluzione: C. Per affrontare questi esercizi è necessario ricordare che 1024 = 2¹⁰ ≃ 10³ = 1000. In tal caso riscriviamo b come (4 × 100)⁵ = (2² × 10²)⁵ = 2¹⁰ × 10¹⁰. Essendo le soluzioni proposte espresse in base 10 ricordiamo che 2¹⁰ ≃ 10³, per cui 2¹⁰ × 10¹⁰ ≃ 10³ × 10¹⁰ = 10¹³. Vediamo che 10¹³ è tra la soluzione B e la C. Ciononostante, analizzando l’approssimazione fatta, notiamo che 2¹⁰ > 10³ per cui b > 10¹³ ma non molto più grande, da cui si conclude la C.

Soluzione: D. Si ricordi che una parabola con asse parallelo ad asse delle ordinate (y) ha forma y = ax² + bx + c con a≠0. Affinché essa abbia asse parallelo a quello delle ascisse, è sufficiente sostituire le x con le y (e viceversa) all’interno dell’equazione, ovvero x = ay² + by + c.
Si noti che la prima equazione rappresenta una parabola con asse parallelo alle ordinate. La seconda non rappresenta una parabola in quanto sia la x sia la y compaiono al secondo grado.
La terza equazione proposta rappresenta una retta, mentre la quarta è bene una parabola con asse parallelo alle ascisse. Infatti quest’ultima può essere espressa come x = 4y² – 4y + 3. Infine, l’ultima equazione può essere riscritta come x = , ovvero una retta parallela all’asse delle ordinate.

Soluzione: A. Si legge nel testo: “che si manifestano (in forma netta) soltanto in condizioni tra loro incompatibili, e che in condizioni attuabili appaiono soltanto parzialmente, in una forma «attenuata» (ad esempio, la localizzazione approssimata, ammessa dalle disuguaglianze di Heisenberg, nello spazio delle coordinate e in quello degli impulsi)”. Da cui si deduce che Posizione e impulso sono localizzabili contemporaneamente solo in forma approssimata.

Soluzione: D. Leggiamo nel testo che “Una simile impostazione del problema autorizza pienamente l’introduzione di grandezze, che descrivono l’oggetto di per sé, indipendentemente dall’apparecchio (carica, massa, spin della particella e anche altre proprietà dell’oggetto, descritte da operatori quantistici)”, da cui la risposta D è quella corretta.

Soluzione: B. Studiare è sufficiente, ma non necessario per essere promosso. Dunque, se uno studente viene promosso potrebbe aver studiato, ma non è necessario. Per cui la risposta corretta è la B.

Soluzione: C. Sapendo che una sola persona ha mentito, possiamo supporre che una persona per volta mente. Partiamo da Adele, se mente allora vuol dire che nel sacchetto non ci sono tre biglie e non sono tutte nere. Ma in tal caso allora anche Carla mentirebbe in quanto dice che ci sono solo biglie nere.
Sapendo che solo una persona mente, allora non può essere Adele perché ci porterebbe alla conclusione che due persone mentono.
Di conseguenza neanche Carla sta mentendo, per cui l’unica persone che mente è Barbara.
Dato che Adele non mente allora, per quanto detto da Adele, ci sono 3 biglie nel sacchetto.

Soluzione: A. Se 5 è la cifra più grande e compare una e una sola volta, allora le altre cifre possibili sono 0, 1, 2, 3 e 4 (5 cifre).
Nel caso 5 sia in prima cifra, ci sono altre 3 cifre da scegliere. Per ciascun posto ci sono 5 possibilità, quindi vi sono 5x5x5 = 125 numeri.
Nel caso in cui 5 si trovi alla seconda cifra, al primo posto non potremo mettere lo 0, perché equivarrebbe a un numero di 3 cifre. Quindi le possibilità per la prima cifra si riducono a 4, mentre per la terza e la quarta abbiamo 5 cifre possibili, per un totale di 4x5x5 = 100 numeri.
Lo stesso ragionamento sopra può essere fatto nel caso il 5 si trovi alla terza o alla quarta cifra.
Contando i numeri possibili abbiamo 125+100+100+100 = 425 (risposta A).

Soluzione: C. In generale si ricordi che: il numero di protoni nel nucleo (particelle subatomiche di segno positivo) indica l’elemento, il numero di neutroni, di segno nullo, nel nucleo ne indica l’isotopo (elementi uguali ma con diverse proprietà) mentre il numero di elettroni, particelle subatomiche di segno negativo non poste nel nucleo, può variare. In particolare, quando il numero di protoni è pari al numero di elettroni, l’atomo è neutro in quanto le cariche negative sono bilanciate da un numero pari di cariche positive. Un squilibrio nel numero porta alla formazione di ioni negativi o positivi. In uno ione negativo il numero di cariche negative è superiore a quello di cariche positive, ovvero il numero di elettroni è superiore a quello dei protoni, da cui la risposta C è quella esatta.

Soluzione: D. Benché in un sistema isolato l’energia si conservi, essa può trasformarsi, passando quindi da energia cinetica ad un altro tipo e viceversa. Per esempio, se consideriamo la caduta di un oggetto, esso guadagna energia cinetica durante la caduta, portando l’energia cinetica del sistema ad aumentare.

Soluzione: B. Analizziamo le grandezze che intervengono nell’espressione. A sinistra dell’uguale abbiamo solo l’energia, che ha come grandezza i Joule (J). A destra abbiamo invece tre grandezze: h stessa, la frequenza v di dimensione s^-1 e n che è adimensionale (come si può dedurre dai valori interi adimensionali che assume).
Riscrivendo l’espressione in termini dimensionali si ha J = s^-1 × [h], dove [h] indica l’unità di misura di h. Si trova che [h] = J × s. Tale grandezza non è presente tra quelle elencate, ciononostante sappiamo che W = ^J⁄_S, quindi W × s² = ^J⁄_S × s² = J × s. Da cui la risposta B è quella corretta.

Soluzione: A. L’energia necessaria a far aumentare un kilo d’acqua (ovvero un litro) di un grado è pari a 4200J (ovvero ha un calore specifico di 4,2 JK^-1g^-1). Per aumentare 2 litri d’acqua di 70 gradi, servono allora 4200J × 2kg × 70K = 588000J (in generale si ricordi che per far aumentare di x gradi y grammi di materiale serve un’energia pari a c_pxy dove c_p è il calore specifico). Siamo però in presenza di efficienza non pari a 100% ma a 30%, ovvero per ogni 10 J erogati, 7 sono dissipati. Per far acquisire 588000 Joule, è necessario erogarne ⁵⁸⁸⁰⁰⁰⁄_0,3 = 1960000J. Sapendo che la potenza è definita come il rapporto tra energia e tempo in cui essa è erogata, il tempo necessario per avere una certa quantità di energia è dato da t = ^E⁄_P, si ha quindi t = = 3920 secondi.

Soluzione: A. La presenza dell’attrito è necessario per evitare fenomeni di “scivolamento”. Infatti, più l’attrito con il suolo diminuisce (per esempio su una superficie ghiacciata), più la nostra capacità di spostamento diminuisce. L’attrito con il suolo è quindi necessario, indipendentemente dal mezzo in cui ci muoviamo. Infatti, anche nel vuoto, l’attrito con una superficie permette di appoggiarsi e applicare una spinta. In assenza di attrito, la spinta non si genererebbe.

Soluzione: A. La variabile x viene inizializzata a 2 mentre y a x alla terza, cioè 2 alla terza 3 che è uguale a 8. Le variabili entrano in un ciclo for. Si ricordi che ad ogni ciclo la variabile di ciclo i aumenta di 1 partendo da i=1 fino a quando arriva a 3. A ogni ciclo x viene posta uguale y per i. Al primo ciclo, x risulta pari a 8 x 1 = 8. Al secondo ciclo, x viene posta uguale a 8 x 2 = 16. Al terzo e ultimo ciclo, x è pari a 8 x 3 = 24. Uscita dal ciclo, la variabile y viene incrementata di 5, passando quindi da 8 a 13.
A questo punto le variabili passano all’interno di una istruzione condizionale che viene svolta se e solo se x-y < y. Nel nostro caso, sostituendo i valori, 24-13 = 11 < 13, la disuguaglianza è verificata quindi l’istruzione viene eseguita e la variabile x viene incrementata di 3, passando da 24 a 27.
Il valore stampato a video è quindi x+y = 27+13 = 40.

Soluzione: A. Un firewall è una specie di filtro passivo che controlla il traffico di dati e blocca le trasmissioni pericolose o indesiderate in base a una serie di regole specifiche. La maggior parte dei firewall dispone di norme standard a cui l’utente finale può aggiungere altre personalizzate, in base alle proprie necessità. Il firewall può essere sia hardware sia software.

Soluzione: E. L’edificio rappresentato è in assonometria monometrica, distinguibile dall’angolo di 90° che l’edificio forma tra gli assi x e y e dagli angoli di 60° e di 30° formati tra gli assi x e y e l’orizzontale.